根據《侵權責任法》第八十二條，遺棄、逃逸的動物在遺棄、逃逸期間造成他人損害的，由原動物飼養人或者管理人承擔侵權責任。

該法律規定的遺棄、逃逸的動物造成他人損害的情況下，原動物飼養人或者管理人承擔的是無過錯責任。根據該規定，原動物飼養人或者管理人如果能證明被侵權人存在故意或者重大過失，可以主張減輕責任或者不承擔責任，具體包括以下幾點：

一、如果動物原飼養人或者管理人能夠證明損害是因為被侵權人或被害人的重大過失造成的，由于對遺棄、逃逸動物的原飼養人和管理人的責任規定，和《侵權責任法》第七十八條：“能夠證明損害是因被侵權人故意或者重大過失造成的，可以不承擔或者減輕責任?！钡囊幎?，否定了其在被侵權人或者被害人一般過失和輕微過失情況下的減輕責任，所以只有被侵權人或者被害人存對損害有重大過失的情況下才能減輕或者免除責任。

二、在被侵權人或者被害人故意造成動物侵害時，可以適用《侵權責任法》第二十七條的規定：“損害是因受害人故意造成的，行為人不承擔責任?！彼赃z棄、逃逸的動物造成他人損害是因為被侵權人或者被害人故意的，其原飼養人和管理人不承擔責任。

三、根據《侵權責任法》第二十九條的規定，因不可抗力造成他人損害的，不承擔責任。比如因地震逃逸的動物毀壞財物、致人損害的，因屬于由于不可抗力造成的他人損害，其原飼養人和管理人免責。

四、遺棄、逃逸的動物致人損害的，其原飼養人和管理人并沒有盡到相應的管理職責，承擔無過錯的賠償責任，動物的原飼養人或者管理人僅僅證明其盡到管理職責的，不能減免其責任。